9. Найдите наименьший положительный корень уравнения $$5^{\cos^2x-\sin^2x-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

9. Наименьший положительный корень уравнения

Перепишем уравнение, приведя его к одному основанию:

\( 5^{\cos^2x-\sin^2x-1} = 5^{-\frac{1}{2}} \)

Так как основания равны, приравняем показатели степеней:

\( \cos^2x - \sin^2x - 1 = -\frac{1}{2} \)

Используем тригонометрические тождества:

\( \cos^2x - \sin^2x = \cos(2x) \)

Тогда уравнение примет вид:

\( \cos(2x) - 1 = -\frac{1}{2} \)

\( \cos(2x) = 1 - \frac{1}{2} \)

\( \cos(2x) = \frac{1}{2} \)

Общее решение для \( \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \) есть \( \alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

В нашем случае \( \alpha = 2x \), поэтому:

\( 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

Разделим на 2:

\( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \)

Теперь найдём наименьший положительный корень. Для этого подставим разные целые значения \( k \).

Случай 1: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \)

• Если \( k = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{6} \). Это положительный корень.
• Если \( k = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \).
• Если \( k = -1 \), то \( x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} \) (отрицательный).

Случай 2: \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \)

• Если \( k = 0 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} \) (отрицательный).
• Если \( k = 1 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \).
• Если \( k = 2 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \).

Сравнивая положительные корни \( \frac{\pi}{6} \), \( \frac{7\pi}{6} \), \( \frac{5\pi}{6} \), \( \frac{11\pi}{6} \), видим, что наименьшим положительным корнем является \( \frac{\pi}{6} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{6} \)