8. Найдите точки графика функции $$f(x) = x³-3x² + 3x$$, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

8. Точки касания с осью абсцисс

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Шаг 1: Найдем производную функции \( f(x) = x³-3x²+3x \).

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x³-3x²+3x) \)

\( f'(x) = 3x² - 3 \cdot 2x + 3 \)

\( f'(x) = 3x² - 6x + 3 \)

Шаг 2: Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, где касательная параллельна оси абсцисс.

\( 3x² - 6x + 3 = 0 \)

Разделим всё уравнение на 3:

\( x² - 2x + 1 = 0 \)

Это полный квадрат:

\( (x - 1)² = 0 \)

Отсюда следует, что \( x - 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \).

Шаг 3: Найдем значение функции \( f(x) \) в этой точке.

Подставим \( x = 1 \) в исходную функцию \( f(x) = x³-3x²+3x \):

\( f(1) = (1)³ - 3(1)² + 3(1) \)

\( f(1) = 1 - 3 + 3 = 1 \)

Таким образом, точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет координаты (1; 1).

Ответ: (1; 1)