8. Найдите точки графика функции f(x) = x³ - 3x² + 3x, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Решение:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению первой производной функции в точке касания.

Найдем первую производную функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x \):

\[ f'(x) = (x^3)' - (3x^2)' + (3x)' \]

\[ f'(x) = 3x^2 - 3(2x) + 3 \]

\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, где касательная параллельна оси абсцисс:

\[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 3:

\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или заметить, что это полный квадрат:

\[ (x-1)^2 = 0 \]

Отсюда получаем \( x - 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \).

Теперь найдём значение функции \( f(x) \) в этой точке:

\[ f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1 \]

Таким образом, точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет координаты (1, 1).

Ответ: (1; 1).