4. Углы треугольника ABC относятся так: \(\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3\). Биссектриса BM угла ABC равна 10. Найдите длину отрезка MC.

Пусть углы равны \(x,2x,3x\). Тогда \(6x=180^\circ\), откуда \(x=30^\circ\). Следовательно, \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(\angle C=90^\circ\).

Так как \(BM\) — биссектриса, \(\angle MBC=30^\circ\). В треугольнике \(BMC\): \(\angle C=90^\circ\), поэтому \(\angle BMC=60^\circ\). При \(BM=10\) имеем:

\[MC=BM\tan30^\circ=10\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}.\]

Ответ: \(\frac{10\sqrt3}{3}\).