4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а высота, проведенная к основанию, 5 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам и является также медианой.

Пусть основание равно \( a \), а боковые стороны равны \( b = 13 \) см. Высота \( h = 5 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

\( (\frac{a}{2})^2 + h^2 = b^2 \)

\( (\frac{a}{2})^2 + 5^2 = 13^2 \)

\( (\frac{a}{2})^2 + 25 = 169 \)

\( (\frac{a}{2})^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( \frac{a}{2} = \sqrt{144} = 12 \) см.

Тогда основание \( a = 2 \cdot 12 = 24 \) см.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \) см².

Ответ: 60 см².