4) В \(\triangle ABC\) \(AB=BC\), \(\angle CAB=30^\circ\), \(AE\) — биссектриса, \(BE=8\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Так как \(AB=BC\), равны углы при основании \(AC\): \(\angle C=\angle A=30^\circ\), поэтому \(\angle B=120^\circ\). Биссектриса даёт \(\angle BAE=15^\circ\). В треугольнике \(ABE\) третий угол равен \(45^\circ\).

По теореме синусов \(\frac{AB}{\sin45^\circ}=\frac{BE}{\sin15^\circ}\), откуда \(AB=8\frac{\sin45^\circ}{\sin15^\circ}\). Следовательно, \(AB^2=128(2+\sqrt3)\).

Площадь исходного треугольника по двум сторонам \(AB=BC\) и углу между ними: \(S=\frac12 AB^2\sin120^\circ=\frac12\cdot128(2+\sqrt3)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=96+64\sqrt3\).

Ответ: \(96+64\sqrt3\text{ см}^2\).