409. Докажите, что: а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; б) диагональ ромба делит его угол пополам.

а) Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO = DO. В треугольниках AOB и AOD: AB = AD (стороны ромба), AO — общая сторона, BO = DO. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому ∠AOB = ∠AOD. Эти углы смежные, следовательно, каждый равен 90°. Значит, диагонали перпендикулярны.

б) Рассмотрим диагональ AC. В треугольниках ABC и ADC: AB = AD, BC = DC, а AC — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому ∠BAC = ∠CAD. Значит, AC делит угол A пополам. По той же причине диагональ BD делит пополам углы B и D.