41. Длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны соответственно 3 и 25, а их скалярное произведение равно −75. Найдите длину вектора \(\vec c\), если \(\vec c=2\vec a+\frac15\vec b\).

Используем формулу квадрата длины вектора:

\(\lvert\vec c\rvert^2=\left(2\vec a+\frac15\vec b\right)^2=4\lvert\vec a\rvert^2+\frac1{25}\lvert\vec b\rvert^2+\frac45(\vec a\cdot\vec b)\).

\(\lvert\vec c\rvert^2=4\cdot9+\frac1{25}\cdot625+\frac45\cdot(-75)=36+25-60=1\).

Следовательно, \(\lvert\vec c\rvert=1\).

Ответ: 1