45. Упростить выражение $\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}$, если $a>0$, $b>0$ и $x=\frac12\left(\sqrt{\frac ab}-\sqrt{\frac ba}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 45. Упростить выражение $\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}$, если $a>0$, $b>0$ и \(x=\frac12\left(\sqrt{\frac…$ Фото задания

45. Упростить выражение $\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}$, если $a>0$, $b>0$ и $x=\frac12\left(\sqrt{\frac ab}-\sqrt{\frac ba}\right)$.

Accepted Answer

Обозначим $u=\sqrt{\frac ab}$, тогда $u^{-1}=\sqrt{\frac ba}$ и $x=\frac{u-u^{-1}}2$.

\[1+x^2=1+\frac{(u-u^{-1})^2}{4}=\frac{(u+u^{-1})^2}{4}.\]

Так как $a>0$ и $b>0$, получаем

\[\sqrt{1+x^2}=\frac12\left(\sqrt{\frac ab}+\sqrt{\frac ba}\right).\]

После подстановки и упрощения:

\[\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{a^2-b^2}{2a\sqrt{ab}}.\]

Ответ: $\frac{a^2-b^2}{2a\sqrt{ab}}$.

45. Упростить выражение \(\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\), если \(a>0\), \(b>0\) и \(x=\frac12\left(\sqrt{\frac ab}-\sqrt{\frac ba}\right)\).

Ответ: