47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Question

Вопрос:

Фото задания

47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Accepted Answer

Решение:

Обозначим:

\( Х \) — хорошая погода.
\( О \) — отличная погода.

Из условия известно:

\( P(\text{завтра такая же} | \text{сегодня такая же}) = 0.8 \).
\( P(\text{завтра другая} | \text{сегодня такая же}) = 1 - 0.8 = 0.2 \).
Сегодня, 3 июля, погода хорошая: \( P(\text{3 июля = Х}) = 1 \).

Нам нужно найти вероятность того, что 6 июля будет отличная погода. Рассчитаем погоду день за днем:

4 июля:

Погода будет хорошей: \( P(\text{4 июля = Х}) = P(\text{3 июля = Х}) \times P(\text{завтра такая же} | \text{сегодня = Х}) = 1 \times 0.8 = 0.8 \).
Погода будет отличной: \( P(\text{4 июля = О}) = P(\text{3 июля = Х}) \times P(\text{завтра другая} | \text{сегодня = Х}) = 1 \times 0.2 = 0.2 \).

5 июля:

Если 4 июля была хорошая погода (вероятность 0.8):

\( P(\text{5 июля = Х} | \text{4 июля = Х}) = 0.8 \).
\( P(\text{5 июля = О} | \text{4 июля = Х}) = 0.2 \).

Если 4 июля была отличная погода (вероятность 0.2):

\( P(\text{5 июля = Х} | \text{4 июля = О}) = 0.8 \).
\( P(\text{5 июля = О} | \text{4 июля = О}) = 0.2 \).

Вероятность отличной погоды 5 июля:

\( P(\text{5 июля = О}) = P(\text{5 июля = О} | \text{4 июля = Х}) P(\text{4 июля = Х}) + P(\text{5 июля = О} | \text{4 июля = О}) P(\text{4 июля = О}) \)

\( P(\text{5 июля = О}) = (0.2 \times 0.8) + (0.2 \times 0.2) = 0.16 + 0.04 = 0.2 \).

6 июля:

Аналогично, вероятность того, что 6 июля будет отличная погода, рассчитывается на основе погоды 5 июля.
Если 5 июля была хорошая погода (вероятность \( 1 - 0.2 = 0.8 \)):

\( P(\text{6 июля = О} | \text{5 июля = Х}) = 0.2 \).

Если 5 июля была отличная погода (вероятность \( 0.2 \)):

\( P(\text{6 июля = О} | \text{5 июля = О}) = 0.2 \).

Вероятность отличной погоды 6 июля:

\( P(\text{6 июля = О}) = P(\text{6 июля = О} | \text{5 июля = Х}) P(\text{5 июля = Х}) + P(\text{6 июля = О} | \text{5 июля = О}) P(\text{5 июля = О}) \)

\( P(\text{6 июля = О}) = (0.2 \times 0.8) + (0.2 \times 0.2) = 0.16 + 0.04 = 0.2 \).

Ответ: 0.2