40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Обозначим событие \( A \) — первая лампа перегорит в течение года, \( B \) — вторая лампа перегорит в течение года. Из условия известно, что \( P(A) = 0.3 \) и \( P(B) = 0.3 \).

Вероятность того, что первая лампа не перегорит, равна \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7 \).

Вероятность того, что вторая лампа не перегорит, равна \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7 \).

Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» является дополнением к событию «обе лампы перегорят».

Вероятность того, что обе лампы перегорят (предполагая независимость событий): \( P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09 \).

Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна \( 1 - P(A \text{ и } B) = 1 - 0.09 = 0.91 \).

Ответ: 0.91