5. log3(x+6) = log9(4x-9)

Краткая запись:

• log3(x+6) = log9(4x-9)

Решение:

1. Приведем логарифмы к одному основанию (например, к основанию 3). Заменим log9(4x-9) на выражение с основанием 3:
• \[ \log_9(4x-9) = \log_{3^2}(4x-9) = \frac{1}{2} \log_3(4x-9) \]
2. Теперь уравнение выглядит так:
• \[ \log_3(x+6) = \frac{1}{2} \log_3(4x-9) \]
3. Умножим обе части на 2:
• \[ 2 \log_3(x+6) = \log_3(4x-9) \]
4. Используем свойство логарифма k*log_b(x) = log_b(x^k):
• \[ \log_3((x+6)^2) = \log_3(4x-9) \]
5. Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
• \[ (x+6)^2 = 4x-9 \]
• \[ x^2 + 12x + 36 = 4x - 9 \]
• \[ x^2 + 12x - 4x + 36 + 9 = 0 \]
• \[ x^2 + 8x + 45 = 0 \]
6. Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 \]
• \[ D = 64 - 180 \]
• \[ D = -116 \]
• Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.
7. Проверим ОДЗ:
• \[ x+6 > 0 \implies x > -6 \]
• \[ 4x-9 > 0 \implies 4x > 9 \implies x > \frac{9}{4} \]
• Общее условие: x > 9/4.

Ответ: нет решений