log₈₁ 3^(2x+6) = 4

Краткая запись:

• log₈₁ 3^(2x+6) = 4

Решение:

1. Представим основание логарифма 81 как степень числа 3:
• \[ 81 = 3^4 \]
2. Подставим это в уравнение:
• \[ \log_{3^4}(3^{2x+6}) = 4 \]
3. Используем свойство логарифма: log_b^k(a^m) = (m/k) * log_b(a):
• \[ \frac{2x+6}{4} \log_3(3) = 4 \]
4. Так как log₃(3) = 1:
• \[ \frac{2x+6}{4} = 4 \]
5. Умножим обе части на 4:
• \[ 2x + 6 = 16 \]
• \[ 2x = 16 - 6 \]
• \[ 2x = 10 \]
• \[ x = 5 \]
6. Проверим ОДЗ:
• Аргумент логарифма 3^(2x+6) должен быть больше 0. Так как 3 в любой степени всегда больше 0, это условие выполняется для любого x.
• Основание логарифма 81 > 0 и ≠ 1, что также выполняется.

Ответ: 5