5. Тип 17 № 311457 Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

В равнобедренной трапеции ABCD углы при основании равны.

Диагональ AC образует с основанием BC угол \(\angle ACB = 30°\) и с боковой стороной CD угол \(\angle ACD = 105°\).

Угол \(\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 30° + 105° = 135°\).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны \(\angle DAB = \angle CBA\), и углы при основании BC равны \(\angle BCD = \angle ADC\). Однако, это не всегда так, если BC и AD — основания. В данном случае, BC и AD являются основаниями.

Углы при основании CD равны 135°. Значит, \(\angle ADC = 135°\).

Так как ABCD — трапеция, то сумма углов, прилежащих к боковой стороне CD, равна 180°. Значит, \(\angle ADC + \angle DAB = 180°\).

\( 135° + \angle DAB = 180° \)

\(\angle DAB = 180° - 135° = 45°\).

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны, то \(\angle CBA = \angle DAB = 45°\).

Углы трапеции: 45°, 45°, 135°, 135°. Меньший угол равен 45°.

Ответ: 45.