9. Тип 17 № 323800 Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC = 4 и AD = 10. Проведем среднюю линию MN, где M — середина AB, N — середина CD. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: \( MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \).

Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.

Рассмотрим \(\triangle ACD\). Диагональ AC делит его на два треугольника. Точка N — середина CD. Отрезок NP параллелен AD.

По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), если в \(\triangle ACD\) проведена средняя линия NP (параллельная основанию AD), то P является серединой AC, а \( NP = \frac{1}{2} AD \).

\( NP = \frac{1}{2} · 10 = 5 \).

Рассмотрим \(\triangle ABC\). Точка M — середина AB. Отрезок MP параллелен BC.

Тогда \( MP = \frac{1}{2} BC \).

\( MP = \frac{1}{2} · 4 = 2 \).

Отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны MP и PN. Длина средней линии MN = MP + PN = 2 + 5 = 7, что совпадает с рассчитанным значением.

Больший из отрезков — это PN = 5.

Ответ: 5.