9. Тип 17 № 323800 Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Решение:

Пусть ABCD — трапеция с основаниями \( BC = 4 \) и \( AD = 10 \). Пусть MN — средняя линия трапеции, где M лежит на AB, а N лежит на CD. Диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке K.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, т.е. \( MN ∥ BC ∥ AD \).

Рассмотрим треугольник ADC. Диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке K. Так как MN || AD, то AK — медиана в треугольнике ADC, и точка K делит диагональ AC пополам. Точка K также делит среднюю линию MN пополам.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

Диагональ AC делит среднюю линию MN на два отрезка: MK и KN.

В треугольнике ADC, отрезок KN соединяет середины боковой стороны CD и основания AD. По теореме Фалеса, KN равен половине основания AD: \( KN = \frac{AD}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

В треугольнике ABC, отрезок MK соединяет середины боковой стороны AB и средней линии MN. Так как MN || BC, то MK равен половине основания BC: \( MK = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Проверка: \( MK + KN = 2 + 5 = 7 \), что равно длине средней линии MN.

Больший из отрезков MK и KN равен 5.

Ответ: 5.