8. Тип 17 № 323796 В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание. Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда:

• BH = CK = h (высота).
• BC = HK (так как ABCH и BCKD — прямоугольники).
• AB = CD (боковые стороны равнобедренной трапеции).
• \(\triangle ABH\) и \(\triangle DCK\) — прямоугольные треугольники.
• \(\angle BAH = \angle CDK\) — углы при основании.
• \(AH = KD = \frac{AD - BC}{2}\).

Из прямоугольного \(\triangle ABH\) мы знаем высоту BH (h) и угол \(\angle BAH\). Пусть \(\angle BAH = \alpha\).

Мы можем найти AH:

\( \tan(\alpha) = \frac{BH}{AH} \)

\( AH = \frac{BH}{\tan(\alpha)} = \frac{h}{\tan(\alpha)} \).

Тогда большее основание AD равно:

\( AD = BC + 2 \cdot AH \)

\( AD = BC + 2 \cdot \frac{h}{\tan(\alpha)} \).

Ответ: Большее основание равно сумме меньшего основания и удвоенной длины отрезка AH, где \( AH = \frac{h}{\tan(\alpha)} \), \(h\) — высота, \(\alpha\) — угол при основании.