5. Вычислите значение выражения \( \sin(\mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) \).

Решение:

Сначала найдём значение \( \mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) \).

Пусть \( \alpha = \mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) \). По определению арккотангенса, \( \mathrm{ctg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \), где \( \alpha \in (0, \pi) \).

Известно, что \( \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \) и \( \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Так как \( \mathrm{ctg}(\alpha) \) отрицателен, \( \alpha \) находится во второй четверти. Используя свойство \( \mathrm{ctg}(\pi - x) = -\mathrm{ctg}(x) \), имеем:

\[ \mathrm{ctg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Значит, \( \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

Теперь нам нужно найти \( \sin(\alpha) \), то есть \( \sin(\frac{2\pi}{3}) \).

\[ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).