9. Найдите наименьший положительный корень уравнения \( 5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

Решение:

Сначала упростим показатель степени в левой части уравнения, используя тригонометрические тождества.

Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Выразим \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим в показатель степени:

\[ \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) - 1 = \cos^2 x - 1 + \cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x - 2 \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 5^{2\cos^2 x - 2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

Представим правую часть в виде степени с основанием 5:

\[ \frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}} \]

Теперь уравнение имеет вид:

\[ 5^{2\cos^2 x - 2} = 5^{-\frac{1}{2}} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ 2\cos^2 x - 2 = -\frac{1}{2} \]

Решим это уравнение относительно \( \cos^2 x \):

\[ 2\cos^2 x = 2 - \frac{1}{2} \]

\( 2\cos^2 x = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
\( \cos^2 x = \frac{3}{4} \)

Из этого следует, что \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Найдём значения \( x \), для которых \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) или \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Наименьший положительный корень для \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) — это \( x = \frac{\pi}{6} \).

Наименьший положительный корень для \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) — это \( x = \frac{5\pi}{6} \).

Среди этих двух значений наименьшим является \( \frac{\pi}{6} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{6} \).