9. Найдите наименьший положительный корень уравнения $$5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Решение:

Уравнение: \( 5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

Перепишем правую часть уравнения, используя свойство степеней: \( \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{1/2}} = 5^{-1/2} \).

Уравнение примет вид: \( 5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = 5^{-1/2} \).

Так как основания степеней равны, приравняем показатели степеней:

\( \cos^2 x - \sin^2 x - 1 = -1/2 \).

Используем тригонометрическое тождество \( \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \).

\( \cos(2x) - 1 = -1/2 \)

\( \cos(2x) = 1 - 1/2 \)

\( \cos(2x) = 1/2 \).

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение \( \cos(y) = 1/2 \), где \( y = 2x \).

Общее решение для \( y \) имеет вид: \( y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Подставим \( y = 2x \):

\( 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

Разделим на 2, чтобы найти \( x \):

\( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \).

Нам нужно найти наименьший положительный корень. Рассмотрим два случая:

1. \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \):
• Если \( k = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{6} \). Это положительный корень.
• Если \( k = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \).
• Если \( k = -1 \), то \( x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} \) (отрицательный).
2. \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \):
• Если \( k = 0 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} \) (отрицательный).
• Если \( k = 1 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \). Это положительный корень.
• Если \( k = 2 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \).

Сравнивая положительные корни \( \frac{\pi}{6} \), \( \frac{7\pi}{6} \), \( \frac{5\pi}{6} \), \( \frac{11\pi}{6} \), наименьшим положительным является \( \frac{\pi}{6} \).

Ответ: $$\frac{\pi}{6}$$.