525. Через точку С окружности с центром О провели касательную окружности, AB – диаметр окружности. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч AC – биссектриса угла BAD.

Пусть E - точка пересечения касательной с диаметром AB, а угол DAC = α. Угол AOC - центральный и опирается на дугу AC. Угол ACE - угол между касательной и хордой, опирается на дугу AC. Тогда угол ACE = углу AOC/2. Угол CAO = 90 - угол AOC/2. Так как AD - перпендикуляр, опущенный из точки A на касательную, угол DAE = 90. В итоге угол BAE = 90 + угол CAO = 90 + 90 - угол AOC/2. = 180 - угол AOC/2. Тогда угол BAC = 180 - угол AOC/2 - 90 = 90 - AOC/2. В итоге AC - биссектриса угла BAD.