526. Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB.

Пусть угол BAC равен \(\alpha\). Так как AC - касательная к окружности с центром O в точке A, то OA перпендикулярна AC. Следовательно, угол OAC равен 90°. Угол OAB равен 90° - \(\alpha\). Треугольник OAB равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). Значит, угол OBA равен углу OAB, то есть 90° - \(\alpha\). Тогда угол AOB равен 180° - угол OAB - угол OBA = 180° - (90° - \(\alpha\)) - (90° - \(\alpha\)) = 180° - 90° + \(\alpha\) - 90° + \(\alpha\) = 2\(\alpha\). Следовательно, угол AOB в 2 раза больше угла BAC.