520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что \(\angle AOB = 120^\circ\).

Пусть M - середина радиуса, через которую провели хорду AB. Тогда OM = R/2, где R - радиус окружности. Треугольник AOM - прямоугольный, так как хорда AB перпендикулярна радиусу. Тогда sin(\(\angle OAM\)) = OM / OA = (R/2) / R = 1/2. Следовательно, \(\angle OAM = 30^\circ\). Треугольник AOB - равнобедренный (AO = OB = R), значит, \(\angle OAB = \angle OBA\). \(\angle OAB = 30^\circ\), следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ - 2 * 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Что и требовалось доказать.