525. Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB – диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч AC – биссектриса угла BAD.

Так как CD - касательная, то \(\angle ACO = 90^\circ\). \(\angle BAC = \angle BCA\) (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BC). Так как AD перпендикулярна CD, то \(\angle ADC = 90^\circ\). \(\angle CAD = 90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - \angle BCA\). \(\angle DAC = 90^\circ - \angle BCA\). \(\angle BAC = \angle BCA\). \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BCA + 90^\circ - \angle BCA = 90^\circ\). Тогда \(\angle CAD = \angle DAC\), следовательно, AC - биссектриса угла BAD.