523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B - точки касания, \(\angle OAB = 20^\circ\). Найдите \(\angle AMB\).

Так как MA и MB - касательные, то OA перпендикулярна MA и OB перпендикулярна MB. Значит, \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\). В четырехугольнике OAMB сумма углов равна 360°. \(\angle AOB = 360^\circ - \angle OAM - \angle OBM - \angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle AMB = 180^\circ - \angle AMB\). Треугольник OAB равнобедренный (OA = OB = R), следовательно, \(\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ\). \(\angle AOB = 180^\circ - 2 * 20^\circ = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). Тогда 140° = 180° - \(\angle AMB\). \(\angle AMB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\). Ответ: \(\angle AMB = 40^\circ\).