520. В окружности с центром О через середину радиуса провели хорду АВ, перпендикулярную ему. Докажите, что ∠AOB = 120°.

Пусть M - середина радиуса, через которую провели хорду AB, и OM - перпендикуляр к AB. Тогда AM = MB. Рассмотрим треугольник OMA. OM = R/2, где R - радиус окружности. Треугольник OMA - прямоугольный. Пусть ∠OAM = α. Тогда cos(α) = OM / OA = (R/2) / R = 1/2. Следовательно, α = 60°. ∠AOB = 2 * ∠AOM = 2 * (90° - α) = 2 * (90° - 60°) = 2 * 30° = 60°. Поскольку OM перпендикулярен AB, то ∠OMA = 90. Рассмотрим треугольник AOM: cos(∠AOM) = OM/OA = (R/2)/R = 1/2. Тогда ∠AOM = 60 градусов. Тогда ∠AOB = 2 * ∠AOM = 2 * 60 = 120 градусов.