523. Через точку М к окружности с центром О провели касательные МА и МВ, А и В – точки касания, ∠OAB = 20°. Найдите ∠AMB.

Поскольку MA и MB - касательные, то OA ⊥ MA и OB ⊥ MB. Значит, ∠OAM = 90° и ∠OBM = 90°. Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Тогда ∠AMB = 360° - ∠OAM - ∠OBM - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - ∠AOB = 180° - ∠AOB. В треугольнике OAB, OA = OB (радиусы), значит треугольник OAB - равнобедренный. Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 20°. Тогда ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 20° - 20° = 140°. Значит, ∠AMB = 180° - 140° = 40°. Ответ: ∠AMB = 40°.