521. Найдите угол между радиусами ОА и ОВ окружности, если расстояние от центра О окружности до хорды АВ в 2 раза меньше: 1) длины хорды АВ; 2) радиуса окружности.

Пусть OM - расстояние от центра O до хорды AB. Тогда OM перпендикулярен AB. 1) OM = AB / 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. Sin(∠OAM) = OM / OA = (AB / 2) / R. Так как AM = AB / 2 (OM - высота и медиана равнобедренного треугольника AOB), то AB = 2 * AM. Получаем sin(∠AOM) = (AB/2)/OA, AM = AB/2 ⇒ AB = 2AM. Рассмотрим треугольник OAM. ∠AMO = 90°. sin(∠AOM) = AM/OA = (AB/2)/R => 2sin∠AOM= AB/R ⇒ OM/OA = AB/2R ⇒ OM/OA = AB/2R ⇒ sin ∠AOM= 1/2. ∠AOM = 30°, значит угол AOB=60°. 2) OM = R/2. cos ∠AOM = (R/2)/R = 1/2. ∠AOM= 60°, значит AOB= 120°.