526. Прямая АС касается окружности с центром О в точке А (рис. 296). Докажите, что угол ВАС в 2 раза меньше угла АОВ.

Так как AC касается окружности в точке A, то OA ⊥ AC, следовательно ∠OAC = 90°. Пусть ∠BAC = α. Тогда ∠OAB = ∠OAC - ∠BAC = 90° - α. В треугольнике AOB, OA = OB (радиусы), значит треугольник AOB - равнобедренный. Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 90° - α. Тогда ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - (90° - α) - (90° - α) = 180° - 90° + α - 90° + α = 2α. Таким образом, ∠AOB = 2α = 2 * ∠BAC. Следовательно, угол BAC в 2 раза меньше угла AOB.