525. Через точку С окружности с центром О провели касательную к этой окружности, АВ – диаметр окружности. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч АС – биссектриса угла BAD.

Пусть E - точка пересечения касательной и прямой AD. Так как CD - касательная, то OC ⊥ CD, значит ∠OCD = 90°. ∠CAE = ∠ABC (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду). ∠ABC = ∠AOC / 2 (вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу). Так как AD ⊥ CD, то ∠ADE = 90°. Рассмотрим треугольник ADC: ∠CAD = 90° - ∠ACD. ∠CAD = 90° - ∠ACO. ∠AOC - смежный с COD ∠ACO = ∠OAC. ∠DAC = 1/2 BOC = ∠ABC => Ac биссектриса BAD.