522. В окружности провели диаметр АВ и хорды АС и CD так, что АС = 12 см, ∠BAC = 30°, AB ⊥ CD. Найдите длину хорды CD.

Так как AB диаметр, то ∠ACB = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Рассмотрим треугольник ABC: AC = 12 см, ∠BAC = 30°. Тогда BC = AC * tg(30°) = 12 * (1/√3) = 12√3 / 3 = 4√3 см. Пусть E - точка пересечения AB и CD. Так как AB ⊥ CD, то CE ⊥ AB. Значит, CE - высота в треугольнике ABC. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: (1/2) * AC * BC и (1/2) * AB * CE. Отсюда CE = (AC * BC) / AB. AB = 2R (диаметр). R = AC / sin ∠ABC = AC / sin 60° = 12 / (√3 / 2) = 24 / √3 = 8√3 см. Тогда AB = 16√3 см. CE = (12 * 4√3) / (16√3) = 48√3 / 16√3 = 3 см. Поскольку AB ⊥ CD, диаметр AB делит хорду CD пополам, значит CE = ED. Следовательно, CD = 2 * CE = 2 * 3 = 6 см. Ответ: CD = 6 см.