539. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом: а) (10ⁿ − 1)/9; б) (10ⁿ + 8)/9; в) (10ⁿ − 4)/3.

Пусть n — натуральное число.

1. а) По формуле суммы геометрической прогрессии: (10ⁿ − 1)/9 = 1 + 10 + 10² + … + 10ⁿ⁻¹. Это натуральное число.
2. б) (10ⁿ + 8)/9 = (10ⁿ − 1)/9 + 1. Первое слагаемое натуральное по пункту а), значит, и вся сумма натуральная.
3. в) (10ⁿ − 4)/3 = (10ⁿ − 1)/3 − 1. Так как 10 ≡ 1 (mod 3), то 10ⁿ − 1 делится на 3. Кроме того, при n ≥ 1 дробь равна положительному целому числу.