58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть M, N, P и Q — середины последовательных сторон четырёхугольника ABCD.

Если ABCD — прямоугольник, то его диагонали равны. По теореме о средней линии MN = AC/2, NP = BD/2, PQ = AC/2, QM = BD/2. Так как AC = BD, все четыре стороны MNPQ равны. Следовательно, MNPQ — ромб.

Если ABCD — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Стороны четырёхугольника MNPQ параллельны диагоналям ABCD: например, MN ∥ AC, а NP ∥ BD. Значит, соседние стороны MNPQ перпендикулярны. Кроме того, MNPQ — параллелограмм по доказательству задачи 55. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.