587. На рисунке 144 изображён ромб ABCD, в котором AB = 6 см, ∠ABC = 120°. Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\); 2) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CB}\); 3) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\); 4) \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\); 5) \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DC}\); 6) \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf v\). В ромбе все стороны равны 6, а \(\overrightarrow{BC}=\mathbf v\), \(\overrightarrow{DC}=\mathbf u\). Угол между \(\overrightarrow{BA}=-\mathbf u\) и \(\overrightarrow{BC}=\mathbf v\) равен 120°, поэтому \((-\mathbf u)\cdot\mathbf v=36\cos120^\circ=-18\), то есть \(\mathbf u\cdot\mathbf v=18\).

1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\mathbf u\cdot\mathbf v=18\).
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=\mathbf u\cdot(-\mathbf v)=-18\).
3. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=\mathbf u\cdot\mathbf u=36\).
4. \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=\mathbf v\cdot(-\mathbf v)=-36\).
5. \(\overrightarrow{DB}=\mathbf u-\mathbf v\), поэтому \((\mathbf u-\mathbf v)\cdot\mathbf u=36-18=18\).
6. \(\overrightarrow{BD}=\mathbf v-\mathbf u\), поэтому \((\mathbf v-\mathbf u)\cdot\mathbf v=36-18=18\).

Ответ: 1) 18; 2) −18; 3) 36; 4) −36; 5) 18; 6) 18 см².