592. В равностороннем треугольнике ABC, сторона которого равна 1, медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M. Вычислите: 1) \(\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{BB_1}\); 2) \(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{MA_1}\).

Расположим вершины так: \(A=(0;0)\), \(B=(1;0)\), \(C=(\frac12;\frac{\sqrt3}{2})\). Тогда \(A_1=(\frac34;\frac{\sqrt3}{4})\), \(B_1=(\frac14;\frac{\sqrt3}{4})\), а точка пересечения медиан \(M=(\frac12;\frac{\sqrt3}{6})\).

1. \(\overrightarrow{AA_1}=(\frac34;\frac{\sqrt3}{4})\), \(\overrightarrow{BB_1}=(-\frac34;\frac{\sqrt3}{4})\). Их скалярное произведение равно \(-\frac{9}{16}+\frac{3}{16}=-\frac38\).
2. \(\overrightarrow{BM}=(-\frac12;\frac{\sqrt3}{6})\), \(\overrightarrow{MA_1}=(\frac14;\frac{\sqrt3}{12})\). Их скалярное произведение равно \(-\frac18+\frac{1}{24}=-\frac{1}{12}\).

Ответ: 1) \(-\frac38\); 2) \(-\frac{1}{12}\).