588. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, CB = 2 см. Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\); 2) \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\); 3) \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{BA}\).

Так как треугольник прямоугольный и \(CB\) лежит напротив угла 30°, гипотенуза \(AB=4\) см, а \(AC=2\sqrt3\) см. Векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярны.

1. \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\).
2. Угол между \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) равен 30°, поэтому \(2\sqrt3\cdot4\cdot\cos30^\circ=12\).
3. Поскольку \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\), получаем \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BA}=(-\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=-|\overrightarrow{BC}|^2=-4\).

Ответ: 1) 0; 2) 12; 3) −4 см².