6.31. Может ли выпуклый многоугольник иметь: а) 6; б) 10; в) 20; г) 100 диагоналей?

Проверяем, существует ли целое \(n\geq 3\), для которого \(\frac{n(n-3)}{2}\) равно заданному числу.

а) 6 диагоналей невозможно: при \(n=6\) диагоналей 9, а при \(n=5\) — 5; число диагоналей возрастает с увеличением n.

б) 10 диагоналей невозможно: между пятиугольником с 5 диагоналями и шестиугольником с 9 диагоналями следующий многоугольник — семиугольник, у которого 14 диагоналей.

в) 20 диагоналей возможно: \(\frac{8(8-3)}{2}=20\).

г) 100 диагоналей невозможно: \(n=15\) даёт 90 диагоналей, а \(n=16\) — 104.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да, у восьмиугольника; г) нет.