6. Найдите многочлен М, если известно, что x³ - 8 = (x - 2) · М. Вычислите значение многочлена М при x = -1.

Решение:

Исходное равенство: \( x^3 - 8 = (x - 2) · М \)

Мы знаем формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

Применим ее к левой части уравнения, где \( a = x \) и \( b = 2 \):

\( x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \)

Теперь подставим это обратно в исходное равенство:

\( (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = (x - 2) · М \)

Разделим обе части на \( (x - 2) \) (при условии, что \( x \neq 2 \)):

\( М = x^2 + 2x + 4 \)

Теперь вычислим значение многочлена \( М \) при \( x = -1 \):

\( М(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 \)

Ответ: а) 3.