8. Разложите на множители выражение x³ + x² - 4x - 4 и решите уравнение x³ + x² - 4x - 4 = 0.

Решение:

Разложим многочлен на множители методом группировки:

\( x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x^3 + x^2) - (4x + 4) \)

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( x^2(x + 1) - 4(x + 1) \)

Вынесем общий множитель \( (x + 1) \):

\( (x + 1)(x^2 - 4) \)

Выражение \( x^2 - 4 \) является разностью квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

Таким образом, разложение многочлена на множители:

\( (x + 1)(x - 2)(x + 2) \)

Теперь решим уравнение \( x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0 \), используя разложенный вид:

\( (x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• \( x + 1 = 0 \) => \( x = -1 \)
• \( x - 2 = 0 \) => \( x = 2 \)
• \( x + 2 = 0 \) => \( x = -2 \)

Корнями уравнения являются \( -2, -1, 2 \).

Среди предложенных вариантов, вариант, содержащий эти корни, отсутствует. Наиболее близкий вариант, содержащий два корня из трех, это а) -2; 2. Однако, правильный ответ должен включать все три корня.

Перепроверим разложение. \( x^3+x^2-4x-4 \). Если \( x=-1 \), то \( -1+1+4-4=0 \). Если \( x=2 \), то \( 8+4-8-4=0 \). Если \( x=-2 \), то \( -8+4+8-4=0 \). Разложение и корни верны.

Среди вариантов ответов: а) -2; 2; б) -2;-1; 2; в) 2; г) -1; 1. Вариант б) содержит все три корня: -2, -1, 2.

Ответ: б) -2; -1; 2.