8. Вычислить: $$2 \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) - 3\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Решение:

1. Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
   
   • $$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ (синус — нечетная функция)
   • $$\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$$. Угол $$\frac{5\pi}{3}$$ находится в IV четверти. Ему соответствует угол $$-\frac{\pi}{3}$$ (или $$300^\circ$$). $$\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ (косинус — четная функция, и $$\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$$)
   • $$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ (котангенс прямого угла равен 0)
2. Подставим полученные значения в выражение:
   $$2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{1}{2} - 3 \times 0$$
   $$= -\sqrt{2} + \frac{1}{2} - 0$$
   $$= \frac{1}{2} - \sqrt{2}$$

Ответ: $$\frac{1}{2} - \sqrt{2}$$