6. Площадь под у = √2х от 0 до 2

Решение:

Чтобы найти площадь под графиком функции \( y = \sqrt{2x} \) на отрезке \( [0, 2] \), нужно вычислить определённый интеграл:

\[ S = \int_{0}^{2} \sqrt{2x} dx \]

Перепишем подынтегральную функцию:

\[ \sqrt{2x} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{2} x^{1/2} \]

Теперь проинтегрируем:

\[ S = \int_{0}^{2} \sqrt{2} x^{1/2} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx \]

\[ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \sqrt{2} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{2} = \sqrt{2} \left( \frac{2}{3} (2)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right) \]

\[ S = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} (2 \sqrt{2}) = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} \]

Ответ: Площадь равна \( \frac{8}{3} \) квадратных единиц.