8. Вычислите \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx \)

Решение:

Чтобы вычислить определённый интеграл, сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = \cos x \):

\[ \int \cos x dx = \sin x + C \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) = \sin x \):

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) \]

Значения синуса:

\( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)

\( \sin(0) = 0 \)

\[ = 1 - 0 = 1 \]

Ответ: 1