9. Площадь между у = х и у = х³ на [0,1]

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = x \) и \( y = x^3 \) на отрезке \( [0, 1] \), нужно вычислить определённый интеграл разности этих функций. Сначала определим, какая функция больше на данном отрезке. При \( x \) от 0 до 1, \( x \ge x^3 \).

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^3) dx \]

Найдём первообразную для \( x - x^3 \):

\[ \int (x - x^3) dx = \int x dx - \int x^3 dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]

Ответ: Площадь равна \( \frac{1}{4} \) квадратных единиц.