6. Площадь прямоугольного треугольника равна $$105\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90°. Пусть угол A = 30°, тогда угол B = 60°. Пусть катет, лежащий напротив угла A (это катет BC), равен $$a$$, а катет, лежащий напротив угла B (это катет AC), равен $$b$$. Гипотенузу обозначим $$c$$. Площадь $$S = \frac{1}{2}ab$$. По условию $$S = 105\sqrt{3}$$.

1. Связь между катетами и углами: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы ($$a = c/2$$). Катет, прилежащий к углу в 30°, равен $$b = a \cdot \sqrt{3}$$ (или $$b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$).
2. Используем площадь: $$105\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab$$.
3. Выразим $$b$$ через $$a$$: $$b = a \cdot \sqrt{3}$$.
4. Подставим в формулу площади: $$105\sqrt{3} = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3})$$.
   $$105\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$.
5. Решим уравнение для $$a$$: Умножим обе стороны на 2: $$210\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$$.
   Разделим обе стороны на $$\sqrt{3}$$: $$a^2 = 210$$.
   $$a = \sqrt{210}$$.

Ответ: $$\sqrt{210}$$