6. Решите неравенство $$\log_{0.5} (x^2 - 3x) \geq \log_{0.5} (2x - 4)$$, учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{0.5} (x^2 - 3x) \geq \log_{0.5} (2x - 4) \) необходимо учесть следующие условия:

1. Область определения логарифмов:
• \( x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (3; \infty) \)
• \( 2x - 4 > 0 \implies 2x > 4 \implies x > 2 \)

Объединяя оба условия, получаем область определения: \( x \in (3; \infty) \).

2. Свойство монотонности логарифмической функции:

Так как основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, то функция \( \log_{0.5}(x) \) является убывающей. При решении неравенства знаки неравенства меняются на противоположные.

\( x^2 - 3x \leq 2x - 4 \)

Перенесём все члены в левую часть:

\( x^2 - 3x - 2x + 4 \leq 0 \)

\( x^2 - 5x + 4 \leq 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)

Парабола \( y = x^2 - 5x + 4 \) направлена ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - 5x + 4 \leq 0 \) выполняется при \( x \in [1; 4] \).

3. Пересечение с областью определения:

Нам нужно найти пересечение полученного интервала \( [1; 4] \) с областью определения \( x \in (3; \infty) \).

\( [1; 4] \cap (3; \infty) = (3; 4] \)

Ответ: \( (3; 4] \).