7. Площадь сферы равна 5π см². Длина линии пересечения сферы и секущей плоскости равна π см. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус сферы, \( S \) — площадь поверхности сферы, \( L \) — длина линии пересечения сферы и секущей плоскости (окружности), \( r \) — радиус этой окружности, \( d \) — расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

По условию:

• \( S = 5\pi \) см²
• \( L = \pi \) см

Формула площади сферы: \( S = 4\pi R^2 \).

Из условия \( S = 5\pi \):

\( 4\pi R^2 = 5\pi \)

\( R^2 = \frac{5\pi}{4\pi} = \frac{5}{4} \)

\( R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) см.

Формула длины окружности: \( L = 2\pi r \).

Из условия \( L = \pi \):

\( 2\pi r = \pi \)

\( r = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (гипотенуза), радиусом окружности сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения. По теореме Пифагора:

\( R^2 = r^2 + d^2 \)

Подставим известные значения \( R^2 = \frac{5}{4} \) и \( r = \frac{1}{2} \) (следовательно, \( r^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)):

\( \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + d^2 \)

\( d^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

\( d = \sqrt{1} = 1 \) см.

Ответ: 1 см.