8. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $$y=-x^2$$; $$y=x-2$$.

Решение:

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями, сначала найдем точки их пересечения.

Приравняем функции:

\[ -x^2 = x - 2 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

\[ \sqrt{D} = 3 \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь нам нужно определить, какая из функций находится выше на промежутке от \( -2 \) до \( 1 \). Возьмём пробную точку, например, \( x = 0 \).

Для \( y = -x^2 \): \( y = -(0)^2 = 0 \).

Для \( y = x - 2 \): \( y = 0 - 2 = -2 \).

Значит, на этом промежутке \( y = -x^2 \) находится выше, чем \( y = x - 2 \).

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{низ}(x)) dx \]

В нашем случае \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( f_{верх}(x) = -x^2 \), \( f_{низ}(x) = x - 2 \).

\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - (x - 2)) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \]

Подставим верхний предел:

\[ \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) \]

Подставим нижний предел:

\[ \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) = \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]

\[ S = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6 \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} \right) + \left( -\frac{1}{2} \right) + (2 + 6) \]

\[ S = \left( -\frac{9}{3} \right) - \frac{1}{2} + 8 \]

\[ S = -3 - \frac{1}{2} + 8 \]

\[ S = 5 - \frac{1}{2} \]

\[ S = 4,5 \]

Ответ: 4,5