6. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg ∠A = √5/2. Найдите длину стороны AC.

Краткое пояснение:

Так как треугольник равнобедренный, опустим высоту из вершины C на основание AB. Эта высота будет также медианой и биссектрисой. Зная тангенс угла A, мы можем найти высоту и половину основания, а затем использовать теорему Пифагора.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) проведем высоту CH из вершины C на основание AB. Так как треугольник равнобедренный, CH является также медианой, поэтому AH = HB = AB/2 = 20/2 = 10.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике AHC мы знаем тангенс угла A: \( an A = rac{CH}{AH} = rac{\sqrt{5}}{2} \).
3. Шаг 3: Подставим значение AH: \( rac{CH}{10} = rac{\sqrt{5}}{2} \).
4. Шаг 4: Найдем длину высоты CH: \( CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5} \).
5. Шаг 5: Теперь в прямоугольном треугольнике AHC используем теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AC: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).
6. Шаг 6: Подставим значения: \( AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + (25 · 5) = 100 + 125 = 225 \).
7. Шаг 7: Найдем длину AC: \( AC = \sqrt{225} = 15 \).

Ответ: 15