7. Две точки движутся по законам x₁(t)=3t²-t+9 и x₂(t) = 2t² + 4t + 5 (х — в метрах, t — в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Найдем скорости движения точек, взяв производные от их координат:
• \(v_1(t) = x_1'(t) = (3t^2 - t + 9)' = 6t - 1\).
• \(v_2(t) = x_2'(t) = (2t^2 + 4t + 5)' = 4t + 4\).
• Найдем моменты времени, когда пройденные расстояния равны, то есть \(x_1(t) = x_2(t)\):
• \(3t^2 - t + 9 = 2t^2 + 4t + 5\).
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \(3t^2 - 2t^2 - t - 4t + 9 - 5 = 0\)
• \(t^2 - 5t + 4 = 0\).
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9\).
• \(√ D = 3\).
• Корни уравнения: \(t_1 = rac{5 + 3}{2} = rac{8}{2} = 4\) и \(t_2 = rac{5 - 3}{2} = rac{2}{2} = 1\).
• Найдем скорости в эти моменты времени:
• При \(t = 1\):
• \(v_1(1) = 6(1) - 1 = 5\) м/с.
• \(v_2(1) = 4(1) + 4 = 8\) м/с.
• При \(t = 4\):
• \(v_1(4) = 6(4) - 1 = 24 - 1 = 23\) м/с.
• \(v_2(4) = 4(4) + 4 = 16 + 4 = 20\) м/с.

Ответ: Скорости равны 5 м/с и 8 м/с в момент времени t=1 с; 23 м/с и 20 м/с в момент времени t=4 с.