7. \(\log_{1/2}(x+1)\cdot\log_2x>\log_{x+1}x\)

Область определения: \(x>0\). Обозначим \(a=\log_2x\), \(b=\log_2(x+1)\). Тогда \(b>0\), \(\log_{1/2}(x+1)=-b\), а \(\log_{x+1}x=a/b\).

Неравенство становится \(-ab>a/b\). Умножаем на положительное \(b\): \(-ab^2>a\), то есть \(a(-b^2-1)>0\). Множитель \(-b^2-1\) строго отрицателен, поэтому необходимо и достаточно, чтобы \(a<0\), то есть \(0

Ответ: \((0,1)\).