7. \(\log_{\frac17}(x^2-9x+69)=-2\)

По определению логарифма \(x^2-9x+69=\left(\frac17\right)^{-2}=49\).

Тогда \(x^2-9x+20=0\), то есть \((x-4)(x-5)=0\). При обоих найденных значениях аргумент логарифма равен 49 и положителен.

Ответ: \(x=4\) или \(x=5\).