7. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{49a^{11}} \cdot \sqrt{16b^6}}{\sqrt{a^7 b^6}}\), при \( a=4, b=11 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

\[ \frac{\sqrt{49a^{11}} \cdot \sqrt{16b^6}}{\sqrt{a^7 b^6}} = \frac{\sqrt{49} \sqrt{a^{11}} \sqrt{16} \sqrt{b^6}}{\sqrt{a^7} \sqrt{b^6}} \]

Сократим \( \sqrt{b^6} \) и упростим остальные корни:

\[ = \frac{7 \cdot \sqrt{a^{11}} \cdot 4}{\sqrt{a^7}} = 28 \cdot \frac{\sqrt{a^{11}}}{\sqrt{a^7}} \]

Используем свойство \( \frac{\sqrt{a^m}}{\sqrt{a^n}} = \sqrt{a^{m-n}} \):

\[ = 28 \cdot \sqrt{a^{11-7}} = 28 \cdot \sqrt{a^4} = 28 \cdot |a^2| \]

Так как \( a=4 \) (положительное число), \( a^2 \) также положительно:

\[ = 28 \cdot a^2 \]

Подставим значение \( a=4 \):

\[ = 28 \cdot 4^2 = 28 \cdot 16 = 448 \]

Ответ: 448