7. Решите неравенство 16^t - 15 * 4^t - 16 ≤ 0.

Решение:

Заметим, что \( 16^t = (4^2)^t = (4^t)^2 \).

Пусть \( x = 4^t \). Тогда неравенство примет вид:

\[ x^2 - 15x - 16 \le 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 15x - 16 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 15 \) и \( x_1 x_2 = -16 \). Корни: \( x_1 = 16 \) и \( x_2 = -1 \).

Парабола \( y = x^2 - 15x - 16 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 15x - 16 \le 0 \) выполняется при \( -1 \le x \le 16 \).

Теперь вернемся к замене \( x = 4^t \). Учитывая, что \( x = 4^t \) всегда больше 0, получаем:

\[ 0 < 4^t \le 16 \]

Для \( 4^t \le 16 \), так как \( 16 = 4^2 \), получаем \( 4^t \le 4^2 \). Поскольку основание степени \( 4 > 1 \), показатель степени \( t \) должен быть меньше или равен 2:

\[ t \le 2 \]

Условие \( 4^t > 0 \) выполняется всегда.

Таким образом, решение неравенства: \( t \le 2 \).

Ответ: t ≤ 2.